Le cube, entre géométrie et architecture

Philippe Boudon développe depuis les années 70 du 20e siècle une construction théorique ayant pour ambition de constituer les concepts inhérents au processus de la conception architecturale, qu’il a nommée architecturologie. La recension de son tout dernier ouvrage, Entre géométrie et architecture (Éditions de la Villette, 2019), m’a incitée à réinterroger un certain nombre des concepts qu’il met en œuvre.

L’un de ces concepts est celui de mesure : « “Toute architecture est mesurée” est une proposition fondatrice de l’architecturologie. » (Boudon 2019, p. 51). La question de la mesure lui permet de distinguer, ce qui est également un leitmotiv de sa pensée, espace géométrique et espace architectural. Pour appuyer son discours, Boudon utilise souvent la figure suivante, « montrant deux cubes dont l’un, celui de l’architecte, se distingue de celui du géomètre par la cote qui l’accompagne » (Boudon 2009, p. 15) :

Le cube du géomètre et le cube de l’architecte d’après Philippe Boudon

Cette illustration est un peu déconcertante. Le cube du géomètre n’est pas « sans » mesure, ses côtés sont de mesure quelconque. C’est donc à lui qu’il faudrait attribuer le « x » du second cube.

En empruntant le style des intertitres de l’ouvrage de Boudon, on peut explorer l’hypothèse suivante:

Que le cube du géomètre n’est pas sans mesure

Le concept de mesure n’étant pas tout à fait identique à celui de longueur, peut-être faudrait-il dire plutôt que le cube du géomètre n’est pas sans longueur. Et d’abord, le mot « cube » sous-entend un certain nombre d’hypothèses qui portent sur les longueurs : le cube est un polyèdre à 6 faces et 8 arêtes (un hexaèdre), dont toutes les longueurs d’arête sont égales :

Il faut donc bien les mesurer, ou leur attribuer une mesure, sinon absolue, du moins relative, ou tout du moins les comparer (et mesurer, c’est comparer).

Et cela ne suffit pas :

Encore faut-il que les angles internes des faces soient droits…

et donc, les mesurer, ou leur attribuer une mesure de 90°.

Par ailleurs, la géométrie sert bien à mesurer des quantités comme le volume, et à comparer ces quantités pour des cubes de longueurs d’arête différentes. Le volume du cube de côté x est égal à x3, et celui du cube de côté 2x est égal à (2x)3, soit 8x3. Même sans calcul, on voit bien que le cube de longueur d’arête double est équivalent à 8 cubes de longueur d’arête simple :

Ce résultat important (le volume croît comme le cube de la longueur) ne pourrait s’exprimer sans affecter « x » à la longueur de l’arête, ou sans indiquer d’une manière ou d’une autre qu’une longueur d’arête est double d’une autre. Ce qui est certain, par contre, c’est que ce résultat est vrai quelle que soit cette longueur d’arête, cette valeur de x. Il concerne la comparaison entre cubes de tailles différentes, quelle que soit la taille absolue de l’un d’entre eux.

S’agit-il d’un problème strictement géométrique? Il a en tout cas de grandes conséquences dans le monde réel, en biologie, et bien évidemment en architecture : c’est ce qu’on appelle les lois d’échelle, l’allométrie: le volume croît comme le cube, et la surface comme le carré de la longueur. Comme certaines forces dépendent du volume, de la surface ou de la longueur, la différence de taille ne peut pas conserver les mêmes proportions aux formes de taille différente. Typiquement, et cela s’applique aux troncs des arbres ou aux os longs des animaux, le poids croît comme le volume, alors que la résistance des troncs ou des os croît comme leur section, et donc d’une surface. les proportions entre épaisseur et hauteur ne peuvent donc pas être conservées.

Le premier (ou en tout cas celui auquel on fait généralement référence) à mentionner les lois d’échelle en biologie a été Galilée qui introduit cette discussion pour contredire la possibilité de l’existence de géants (hypothèse qui avait servi à son évaluation des dimensions de l’Enfer décrit par Dante):

« […] si l’on voulait conserver chez un géant particulièrement grand la même proportion qu’ont les membres chez un homme ordinaire, il faudrait ou trouver une matière bien plus dure et plus résistante pour en constituer les os, ou bien admettre que sa robustesse serait proportionnellement beaucoup plus faible que celle des hommes de taille médiocre ; sinon, à augmenter sans mesure sa hauteur, on le verrait plier sous son propre poids et s’écrouler. » ( Galilée, Discours concernant deux sciences nouvelles, 1638, traduction française, Paris, PUF, 1995 )

Ou alors, ses os devraient s’épaissir de façon monstrueuse.

Il est intéressant de noter que l’origine de la réflexion de Galilée est ancrée dans les savoirs des bâtisseurs, des charpentiers, et donc, espérons-le, des architectes : pour « des machines et des constructions faites des mêmes matériaux », si elles ont les mêmes proportions, alors « les plus grandes sont toujours moins résistantes que les plus petites. » ( Galilée, op. cit. ) Poteaux et poutres sont dimensionnés en fonction de la loi d’échelle exposée pour les troncs ou les os, et chacun sait que, si l’on utilise les mêmes matériaux, un modèle réduit ne peut être utilisé pour tester la résistance d’une construction.

La loi d’échelle peut s’appliquer même sans considérations mécaniques. Le rapport du périmètre d’un carré de côté c à son aire est égale à 4c/c2 = 4/c. Cela veut dire que ce rapport est d’autant plus petit que le carré est grand. Ceci est vrai pour toutes les formes, par exemple pour le cercle de diamètre d : πd / (πd2/4) = 4/d. On peut donc compléter la remarque du billet précédent sur le caractère optimal de la forme circulaire pour enclore une surface donnée : pour une forme donnée, l’économie est d’autant plus importante que la surface à enclore est grande.

Doubler la longueur de l’arête ne double donc pas le volume (cela le rend 8 fois plus grand). Quelle longueur d’arête faut-il donner à un cube pour que son volume soit double de celui d’un cube de longueur de côté donnée ? Ce problème s’appelle la duplication du cube, et il a occupé les esprits depuis fort longtemps. Nous pouvons l’exprimer aujourd’hui sous forme algébrique : si y est la longueur d’arête du cube de volume double de celui de côté x, alors y3 = 2 x3 donne y = √32 x. Pour nous, cela ne pose pas de problème, une calculette nous donnera la réponse. Mais pendant des siècles, trouver la solution devait consister à l’obtenir par un tracé géométrique, à la règle et au compas. Or, nous savons aussi que √32 n’est pas un nombre « constructible ». Malgré les efforts des géomètres depuis l’antiquité, ce problème n’est pas résoluble par une construction géométrique.

Mais est-ce vraiment un problème strictement géométrique ? Théon de Smyrne nous raconte dans son Exposition des connaissances mathématiques utiles à la lecture de Platon cette légende :

« Ératosthène, dans le livre qui a pour titre le Platonicien, rapporte que les Déliens ayant interrogé l’oracle sur le moyen de se délivrer de la peste, le dieu leur ordonna de construire un autel double de celui qui existait déjà. Ce problème jeta les architectes dans un étrange embarras. Ils se demandaient comment on peut faire un solide double d’un autre. Ils interrogèrent Platon sur la difficulté. Celui-ci leur répondit que le dieu avait ainsi rendu l’oracle, non qu’il eût aucun besoin d’un autel double, mais pour reprocher aux Grecs de négliger l’étude des mathématiques et de faire peu de cas de la géométrie. »

Il s’agit donc bien d’un embarras d’architectes, et leur connaissance de la géométrie, comme on l’a vu, ne leur aurait pas été d’un grand secours… Cette connaissance leur aurait confirmé que le problème était insoluble, comme il était impossible, sans doute, de se délivrer de la peste…

Si le cube n’est pas duplicable géométriquement, par contre on sait, depuis au moins Socrate, dupliquer le carré, c’est-à-dire construire un carré de surface double d’un carré donné. Dans le dialogue du Ménon, Socrate fait d’abord constater à l’esclave qu’en doublant les côtés du carré, on obtient un carré dont la surface n’est pas double, mais quadruple, d’une manière similaire à ce qui a été constaté pour le cube plus haut.

Puis, pas à pas, Socrate fait découvrir à l’esclave que c’est le carré qui a pour côté la diagonale du carré initial qui a bien une surface double du premier. La résolution algébrique, y2 = 2 x2 donne y = √2 x (ce qui veut dire que le carré de surface double a un côté égal à la diagonale du premier carré), et l’on sait que cette formule correspond à un nombre constructible à la règle et au compas. On peut tracer le carré double selon une figure très élégante, que même l’esclave qu’interroge Socrate est capable de trouver par lui-même :

Cette construction peut se poursuivre, dans un sens ou dans l’autre, pour obtenir une série de carrés de surface double ou moitié, mais dont les axes tournent de 45° à chaque fois :

Pour obtenir une série de carrés « dupliqués » mais de même orientation, ce n’est pas beaucoup plus difficile :

Et la construction d’un carré de surface moitié à l’intérieur d’un autre est mise en œuvre par Villard de Honnecourt pour montrer « comment concevoir un cloître dont le jardin et la galerie auraient même surface » (Boudon 2019, p. 21) :

Boudon ajoute que Villard n’indique pas de pertinence à cette mesure… On peut en imaginer plusieurs, comme une pertinence symbolique/sémantique visant à rendre égales les surfaces destinées à deux usages distincts, dans le cadre d’un dispositif spatial donné. Il peut même simplement s’agir d’une satisfaction de l’esprit, du même ordre que celle du poète qui s’astreint à respecter le nombre de pieds d’un vers, ou de l’écrivain qui s’empêche d’utiliser une certaine lettre de l’alphabet… L’architecte manipule la géométrie comme l’écrivain manipule l’écriture, et jouer avec les arbitraires de ces moyens fait partie de ces deux arts.

Revenons pour finir à l’illustration à l’origine de ce billet, et au cube de l’architecte, confronté à celui du géomètre. Si le cube de l’architecte a effectivement une mesure, il est étonnant de voir appeler cette mesure « x », puisque justement elle ne doit pas être quelconque, mais déterminée : 10 m par exemple. Nous proposons donc une alternative à l’illustration de Boudon :

Le cube du géomètre et le cube de l’architecte (révisés)

Si l’on décline le cube de l’architecte suivant différentes mesures, ou en tout cas plusieurs ordres de grandeur:

le cube du milieu pourrait correspondre à l’espace d’une pièce, celui de droite pourrait être l’autel grec évoqué plus haut. Quant au premier, il est de l’ordre de grandeur de la Kaaba de la Mecque. Si son nom signifie “le cube”, remarquons qu’il s’agit d’un cube très approximatif, puisque les mesures des quatre côtés sont égales à : 11,68 m, 12,01 m, 10,18 m et 9,90 m, pour une hauteur de 12,95 m.

Formes de la distanciation

Avant que tout cela ne soit, espérons-le, plus qu’un mauvais souvenir, il est temps de répertorier ce que la pandémie a fait à notre pratique de l’espace, ce qu’elle a éventuellement généré comme formes.

D’abord, on peut noter quelques termes qui, sans être forcément des néologismes, se sont introduits dans notre langage quotidien, et qui se réfèrent à des concepts spatiaux, comme les affreux présentiel et distanciel, et surtout la notion de distanciation dite sociale. Il s’agit d’instaurer une distance minimale entre individus, voire d’interposer entre eux une limite, qui peut être matérielle ou symbolique.

C’est ainsi que des cloisons en plexiglas ou autre plastique transparent sont apparues dans bon nombre d’espaces, comme les caisses de supermarché, les bureaux « open space », ou les salles de gymnastique. La transparence est requise puisque la cloison est censée arrêter les postillons mais pas les interactions visuelles ou auditives.

Des bulles

Le summum de cette coupure de l’espace a été atteint lors du concert du groupe de rock The Flaming Lips qui s’est tenu à Oklahama City le 22 janvier 2021, où les spectateurs étaient enfermés dans des bulles en plastique :

The Flaming Lips. Capture d’écran YouTube. Voir ici

Voilà un bel exemple de transformation d’une contrainte en performance artistique… On voit que le dispositif permet au chanteur d’évoluer au-dessus du public, ce qu’il faisait d’ailleurs déjà dans des concerts précédant la pandémie, lui seul étant dans sa bulle cependant. C’est une version plus hygiénique que celle plus classique du chanteur porté à bout de bras par la foule des spectateurs.

L’image du concert où chacun est dans sa bulle ne peut qu’évoquer, en tout cas pour ceux d’entre nous qui ont fait leurs études d’architecture dans les années 70-80, l’illustration très frappante de la couverture du livre d’Edward T. Hall, La dimension cachée, due à Jean-Michel Folon :

Couverture de l’édition française de 1971. Illustration : Jean-Michel Folon

L’ouvrage original, The Hidden Dimension, date de 1966, a paru en traduction française en 1971, mais a connu sa plus grande diffusion lors de sa parution en Points Seuil en 1978, avec toujours la même illustration de couverture, recadrée dans un cercle cette fois :

Couverture de la réédition de 1978. Illustration : Jean-Michel Folon

« People like to keep certain distances between themselves and other people or things. And this invisible bubble of space that constitutes each person’s « territory » is one of the key dimensions of modern society. » (quatrième de couverture de l’édition originale)

Hall n’avait sans doute pas imaginé que des consignes sanitaires affecteraient nos habitudes de distance (ou de rapprochement) intime et personnelle, nous privant de contacts corporels avec nos proches. L’auteur insiste plutôt sur la gêne causée chez des sujets américains par l’intrusion dans leur « bulle » intime d’étrangers n’ayant pas les mêmes critères.

La bulle, immatérielle dans les deux cas, n’a donc pas la même signification : une enveloppe fragile et à préserver pour Hall, une enveloppe certes protectrice mais aussi frustrante dans nos conditions pandémiques.

Des cercles

La plupart des injonctions sanitaires concernant la pratique de l’espace ont pris la forme de marquages au sol. C’est ainsi qu’ont fleuri sous nos pieds, sur les trottoirs, les allées des centre commerciaux, les couloirs des écoles, etc., des indications habituellement réservées au contrôle des véhicules, (à part là où la circulation piétonne s’y confronte : les passages piétons) : des flèches imposant un sens de circulation (instaurant bizarrement parfois une circulation à gauche, déconcertante), des traits espacés d’une distance minimale, des dessins d’empreintes de pieds, etc.

Certains marquages se rapportent à des variétés topologiques incluses dans la surface qu’est le sol : le point et la ligne, définissant respectivement une position, et une limite de surface.

Le point, variété de dimension 0, correspond à un emplacement précis, même si dans la réalité il s’épaissit forcément au minimum à la surface occupée par les pieds. C’est à une assignation assez stricte de ce genre que l’on assiste pour ces vietnamiens venus acheter du riz. (photo 07/09). Le “point” est ici un élément d’un pavage existant de carrés, on a affaire à un espace discret (au sens mathématique), l’espacement est de 5 cases, chaque case occupable est numérotée pour indiquer l’ordre dans la file d’attente.

La ligne peut définir une trajectoire, mais considérons celle (fermée) qui délimite un territoire, une surface d’appropriation. De telles lignes sont présentes en particulier dans le sport : la ligne de touche est symboliquement infranchissable, elle définit un intérieur licite et un extérieur illicite, pour la balle, le ballon, ou une partie d’un corps humain.

De tels territoires ont été dessinés lors de la pandémie, pour au moins deux types d’usagers de l’espace public : les citoyens “ordinaires” qui fréquentent les parcs, et les sans-abris.

C’est la confrontation de deux vues aériennes prises à San Francisco, et publiées dans Télérama en 2020 qui m’a interpellée :

Dolores Park, San Francisco, Google Maps
Campement pour sans-abris, San francisco, Google Maps

Notons en passant que les emplacements pour les sans-abris ne sont pas relégués aux marges de la ville, mais se logent entre le musée d’art asiatique et la bibliothèque publique, tout près de l’hôtel de ville, autour du Pioneer Monument dédié aux premiers colon, sur des voies coupées pour l’occasion à la circulation.

L’article s’intitulait « Ronds ou carrés? » , ce qui ne décrit pas exactement les exemples présentés : les emplacements pour les sans-abris sont rectangulaires et non carrés… Admettons cependant qu’il faille choisir entre le rond, ou plutôt le cercle, et le carré pour la forme de tels territoires.

Dans cette compétition, le cercle est gagnant pour au moins deux raisons. La première est économique : le cercle permet d’enclore une surface donnée avec le moins de peinture possible… Prenons un carré de 1 m de côté; sa surface est de 1 m², son périmètre est de 4 m. Un disque d’aire égale à 1 m² a un périmètre circulaire long de 2√π ≈ 3,54 m. On économise donc environ 10 % de peinture…

Le caractère optimal (en termes économiques) de la forme circulaire a souvent été remarqué en architecture, et par exemple par Jacques-Nicolas-Louis Durand qui « a pu préconiser [en 1819] la figure du cercle en contre-projet du Panthéon de Soufflot, construit sur un plan en croix grecque. (…) son argument est que la forme circulaire du plan est celle qui enclot le maximum d’espace dans un périmètre minimal : au lieu que le Panthéon construit par Soufflot “a coûté dix-huit millions” , celui de Durand, selon ses calculs, “n’en eût coûté que neuf et eût été vaste et magnifique” » (Philippe Boudon, Entre géométrie et architecture, Editions de la Villette, 2019, p. 23). Le cercle est ici confronté à la croix, mais l’argument aurait encore été valide par rapport au carré, bien que la différence de coût aurait été moindre.

Le deuxième argument en faveur du cercle est qu’il est beaucoup plus facile, pour les techniciens des parcs, de dessiner des cercles que des carrés. Il leur suffit en effet de faire tourner leur pinceau ou autre outil de traçage au bout d’une corde fixée au centre du cercle.

Par contre, quelque chose de fondamental a échappé à ces aménageurs éphémères concernant la disposition des cercles. En effet, les cercles sont répartis suivant un pavage sous-jacent de cases carrées, un pavage orthogonal. Or, l’optimisation de l’usage de l’espace du parc aurait dû faire pencher vers un pavage constitué de cases hexagonales, centrées sur le réseau dual triangulaire.

Cercles dans un pavage orthogonal
Cercles dans un pavage de cases hexagonales

Les tailles des cercles et de leur distanciation sont approximativement celles données ici, pour un aménagement équivalent du Domino Park de Brooklyn, à savoir des cercles (en trait gras) de 8 pieds (≈ 2,40 m) de diamètre espacés de 6 pieds (≈ 1,80 m).

Il est visuellement évident que l’espace perdu entre chaque case carrée et le cercle en trait fin est plus important que l’analogue pour les cases hexagonales. On peut faire un dernier petit calcul pour estimer cette différence: si le rayon du cercle inscrit dans la case est égal à 1, alors l’aire du disque correspondant est égale à π . L’aire du carré est égale à 4, alors que celle de l’hexagone vaut 6/ √ 3 ≈ 3,46 . L’espace est donc utilisé à 90% dans le cas des hexagones et seulement à 78% dans le cas des carrés.

Pour terminer, on trouve effectivement parfois des hexagones tracés au sol pour distancier les personnes, par exemple ici (dérouler jusqu’à la photo N° 7 de cet article qui répertorie bien toutes les implications spatiales de la lutte contre la pandémie), dans un lycée ou sans doute le prof de maths s’est emparé de la question… Et je viens de découvrir cet article, qui vous donnera d’autres explications sur le même sujet.