Le cube, entre géométrie et architecture

Philippe Boudon développe depuis les années 70 du 20e siècle une construction théorique ayant pour ambition de constituer les concepts inhérents au processus de la conception architecturale, qu’il a nommée architecturologie. La recension de son tout dernier ouvrage, Entre géométrie et architecture (Éditions de la Villette, 2019), m’a incitée à réinterroger un certain nombre des concepts qu’il met en œuvre.

L’un de ces concepts est celui de mesure : « “Toute architecture est mesurée” est une proposition fondatrice de l’architecturologie. » (Boudon 2019, p. 51). La question de la mesure lui permet de distinguer, ce qui est également un leitmotiv de sa pensée, espace géométrique et espace architectural. Pour appuyer son discours, Boudon utilise souvent la figure suivante, « montrant deux cubes dont l’un, celui de l’architecte, se distingue de celui du géomètre par la cote qui l’accompagne » (Boudon 2009, p. 15) :

Le cube du géomètre et le cube de l’architecte d’après Philippe Boudon

Cette illustration est un peu déconcertante. Le cube du géomètre n’est pas « sans » mesure, ses côtés sont de mesure quelconque. C’est donc à lui qu’il faudrait attribuer le « x » du second cube.

En empruntant le style des intertitres de l’ouvrage de Boudon, on peut explorer l’hypothèse suivante:

Que le cube du géomètre n’est pas sans mesure

Le concept de mesure n’étant pas tout à fait identique à celui de longueur, peut-être faudrait-il dire plutôt que le cube du géomètre n’est pas sans longueur. Et d’abord, le mot « cube » sous-entend un certain nombre d’hypothèses qui portent sur les longueurs : le cube est un polyèdre à 6 faces et 8 arêtes (un hexaèdre), dont toutes les longueurs d’arête sont égales :

Il faut donc bien les mesurer, ou leur attribuer une mesure, sinon absolue, du moins relative, ou tout du moins les comparer (et mesurer, c’est comparer).

Et cela ne suffit pas :

Encore faut-il que les angles internes des faces soient droits…

et donc, les mesurer, ou leur attribuer une mesure de 90°.

Par ailleurs, la géométrie sert bien à mesurer des quantités comme le volume, et à comparer ces quantités pour des cubes de longueurs d’arête différentes. Le volume du cube de côté x est égal à x3, et celui du cube de côté 2x est égal à (2x)3, soit 8x3. Même sans calcul, on voit bien que le cube de longueur d’arête double est équivalent à 8 cubes de longueur d’arête simple :

Ce résultat important (le volume croît comme le cube de la longueur) ne pourrait s’exprimer sans affecter « x » à la longueur de l’arête, ou sans indiquer d’une manière ou d’une autre qu’une longueur d’arête est double d’une autre. Ce qui est certain, par contre, c’est que ce résultat est vrai quelle que soit cette longueur d’arête, cette valeur de x. Il concerne la comparaison entre cubes de tailles différentes, quelle que soit la taille absolue de l’un d’entre eux.

S’agit-il d’un problème strictement géométrique? Il a en tout cas de grandes conséquences dans le monde réel, en biologie, et bien évidemment en architecture : c’est ce qu’on appelle les lois d’échelle, l’allométrie: le volume croît comme le cube, et la surface comme le carré de la longueur. Comme certaines forces dépendent du volume, de la surface ou de la longueur, la différence de taille ne peut pas conserver les mêmes proportions aux formes de taille différente. Typiquement, et cela s’applique aux troncs des arbres ou aux os longs des animaux, le poids croît comme le volume, alors que la résistance des troncs ou des os croît comme leur section, et donc d’une surface. les proportions entre épaisseur et hauteur ne peuvent donc pas être conservées.

Le premier (ou en tout cas celui auquel on fait généralement référence) à mentionner les lois d’échelle en biologie a été Galilée qui introduit cette discussion pour contredire la possibilité de l’existence de géants (hypothèse qui avait servi à son évaluation des dimensions de l’Enfer décrit par Dante):

« […] si l’on voulait conserver chez un géant particulièrement grand la même proportion qu’ont les membres chez un homme ordinaire, il faudrait ou trouver une matière bien plus dure et plus résistante pour en constituer les os, ou bien admettre que sa robustesse serait proportionnellement beaucoup plus faible que celle des hommes de taille médiocre ; sinon, à augmenter sans mesure sa hauteur, on le verrait plier sous son propre poids et s’écrouler. » ( Galilée, Discours concernant deux sciences nouvelles, 1638, traduction française, Paris, PUF, 1995 )

Ou alors, ses os devraient s’épaissir de façon monstrueuse.

Il est intéressant de noter que l’origine de la réflexion de Galilée est ancrée dans les savoirs des bâtisseurs, des charpentiers, et donc, espérons-le, des architectes : pour « des machines et des constructions faites des mêmes matériaux », si elles ont les mêmes proportions, alors « les plus grandes sont toujours moins résistantes que les plus petites. » ( Galilée, op. cit. ) Poteaux et poutres sont dimensionnés en fonction de la loi d’échelle exposée pour les troncs ou les os, et chacun sait que, si l’on utilise les mêmes matériaux, un modèle réduit ne peut être utilisé pour tester la résistance d’une construction.

La loi d’échelle peut s’appliquer même sans considérations mécaniques. Le rapport du périmètre d’un carré de côté c à son aire est égale à 4c/c2 = 4/c. Cela veut dire que ce rapport est d’autant plus petit que le carré est grand. Ceci est vrai pour toutes les formes, par exemple pour le cercle de diamètre d : πd / (πd2/4) = 4/d. On peut donc compléter la remarque du billet précédent sur le caractère optimal de la forme circulaire pour enclore une surface donnée : pour une forme donnée, l’économie est d’autant plus importante que la surface à enclore est grande.

Doubler la longueur de l’arête ne double donc pas le volume (cela le rend 8 fois plus grand). Quelle longueur d’arête faut-il donner à un cube pour que son volume soit double de celui d’un cube de longueur de côté donnée ? Ce problème s’appelle la duplication du cube, et il a occupé les esprits depuis fort longtemps. Nous pouvons l’exprimer aujourd’hui sous forme algébrique : si y est la longueur d’arête du cube de volume double de celui de côté x, alors y3 = 2 x3 donne y = √32 x. Pour nous, cela ne pose pas de problème, une calculette nous donnera la réponse. Mais pendant des siècles, trouver la solution devait consister à l’obtenir par un tracé géométrique, à la règle et au compas. Or, nous savons aussi que √32 n’est pas un nombre « constructible ». Malgré les efforts des géomètres depuis l’antiquité, ce problème n’est pas résoluble par une construction géométrique.

Mais est-ce vraiment un problème strictement géométrique ? Théon de Smyrne nous raconte dans son Exposition des connaissances mathématiques utiles à la lecture de Platon cette légende :

« Ératosthène, dans le livre qui a pour titre le Platonicien, rapporte que les Déliens ayant interrogé l’oracle sur le moyen de se délivrer de la peste, le dieu leur ordonna de construire un autel double de celui qui existait déjà. Ce problème jeta les architectes dans un étrange embarras. Ils se demandaient comment on peut faire un solide double d’un autre. Ils interrogèrent Platon sur la difficulté. Celui-ci leur répondit que le dieu avait ainsi rendu l’oracle, non qu’il eût aucun besoin d’un autel double, mais pour reprocher aux Grecs de négliger l’étude des mathématiques et de faire peu de cas de la géométrie. »

Il s’agit donc bien d’un embarras d’architectes, et leur connaissance de la géométrie, comme on l’a vu, ne leur aurait pas été d’un grand secours… Cette connaissance leur aurait confirmé que le problème était insoluble, comme il était impossible, sans doute, de se délivrer de la peste…

Si le cube n’est pas duplicable géométriquement, par contre on sait, depuis au moins Socrate, dupliquer le carré, c’est-à-dire construire un carré de surface double d’un carré donné. Dans le dialogue du Ménon, Socrate fait d’abord constater à l’esclave qu’en doublant les côtés du carré, on obtient un carré dont la surface n’est pas double, mais quadruple, d’une manière similaire à ce qui a été constaté pour le cube plus haut.

Puis, pas à pas, Socrate fait découvrir à l’esclave que c’est le carré qui a pour côté la diagonale du carré initial qui a bien une surface double du premier. La résolution algébrique, y2 = 2 x2 donne y = √2 x (ce qui veut dire que le carré de surface double a un côté égal à la diagonale du premier carré), et l’on sait que cette formule correspond à un nombre constructible à la règle et au compas. On peut tracer le carré double selon une figure très élégante, que même l’esclave qu’interroge Socrate est capable de trouver par lui-même :

Cette construction peut se poursuivre, dans un sens ou dans l’autre, pour obtenir une série de carrés de surface double ou moitié, mais dont les axes tournent de 45° à chaque fois :

Pour obtenir une série de carrés « dupliqués » mais de même orientation, ce n’est pas beaucoup plus difficile :

Et la construction d’un carré de surface moitié à l’intérieur d’un autre est mise en œuvre par Villard de Honnecourt pour montrer « comment concevoir un cloître dont le jardin et la galerie auraient même surface » (Boudon 2019, p. 21) :

Boudon ajoute que Villard n’indique pas de pertinence à cette mesure… On peut en imaginer plusieurs, comme une pertinence symbolique/sémantique visant à rendre égales les surfaces destinées à deux usages distincts, dans le cadre d’un dispositif spatial donné. Il peut même simplement s’agir d’une satisfaction de l’esprit, du même ordre que celle du poète qui s’astreint à respecter le nombre de pieds d’un vers, ou de l’écrivain qui s’empêche d’utiliser une certaine lettre de l’alphabet… L’architecte manipule la géométrie comme l’écrivain manipule l’écriture, et jouer avec les arbitraires de ces moyens fait partie de ces deux arts.

Revenons pour finir à l’illustration à l’origine de ce billet, et au cube de l’architecte, confronté à celui du géomètre. Si le cube de l’architecte a effectivement une mesure, il est étonnant de voir appeler cette mesure « x », puisque justement elle ne doit pas être quelconque, mais déterminée : 10 m par exemple. Nous proposons donc une alternative à l’illustration de Boudon :

Le cube du géomètre et le cube de l’architecte (révisés)

Si l’on décline le cube de l’architecte suivant différentes mesures, ou en tout cas plusieurs ordres de grandeur:

le cube du milieu pourrait correspondre à l’espace d’une pièce, celui de droite pourrait être l’autel grec évoqué plus haut. Quant au premier, il est de l’ordre de grandeur de la Kaaba de la Mecque. Si son nom signifie “le cube”, remarquons qu’il s’agit d’un cube très approximatif, puisque les mesures des quatre côtés sont égales à : 11,68 m, 12,01 m, 10,18 m et 9,90 m, pour une hauteur de 12,95 m.

Penser l’espace et les formes

Ce carnet de recherche se propose d’explorer la pensée de l’espace et des formes, telle qu’elle apparaît dans la pensée architecturale considérée dans un sens large comme l’ensemble des opérations par lesquelles nous déterminons des parcours, des limites, des enveloppes, etc. dans l’espace de nos déplacements. Cette pensée interagit avec la pensée mathématique, topologique et géométrique, mais aussi avec les processus menant aux formes naturelles, ainsi qu’avec ceux mis en œuvre dans les algorithmes génératifs de formes.
Les billets peuvent être des esquisses d’articles, ou des développements ponctuels d’articles déjà publiés. Ils peuvent aussi être des réflexions liées à des événements de l’actualité, des ouvrages lus, etc. Il s’agit enfin de se confronter à d’autres chercheurs, en particulier au champ de l’architecturologie.